Question

17．在△ABC中，∠C=90°，M是長度為定值的BC邊上一點，sin∠BAM=$\frac{1}{3}$．若$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$取得最大值1時，則AC的長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和向量的投影，以及基本不等式可得a=2，再根據(jù)正弦定理即可得到$\frac{\sqrt{^{2}+1}}{3}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}$，解得即可．

解答 解∵M是長度為定值的BC邊上一點，$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$取得最大值為1
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$=|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{MA}$|cos∠AMC=|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{MC}$|≤1，
∴當且僅當|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{MC}$|=1時取等號，
∴a=2，
設(shè)AC=b，AB=c，CM=MB=$\frac{1}{2}$a=1，
在△ABM中，由正弦定理可得，$\frac{BM}{sin∠BAM}$=$\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{^{2}+1}}{sinB}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3，
∴sinB=$\frac{\sqrt{^{2}+1}}{3}$，
在△ABC中，sinB=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}$，
∴$\frac{\sqrt{^{2}+1}}{3}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}$，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查正弦定理的應(yīng)用向量的數(shù)量的積，向量的投影，基本不等式成立的條件，以及勾股定理的應(yīng)用，屬中檔題．