Question

如圖，有一矩形鋼板ABCD缺損了一角（圖中陰影部分），邊緣線OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個五邊形，若AB=1米，AD=0.5米，當(dāng)沿切割線EF切割使剩余部分五邊形ABCEF的面積最大時，AF的長度為（　　）米．

• A、

  1

  12

• B、

  1

  6

• C、

  5

  12

• D、

  3- 3

  3

Answer 1

分析：邊緣線OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離．說明邊緣線OM是以D為焦點(diǎn)，以AB所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故以AD所在直線為Y軸，以AD的垂直平分線所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，求得此拋物線的方程，作出如圖的切線EF，設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，將五邊形的面積表示出來，判斷出面積最大時AF的值即為所求，

解答：解：由條件易知，邊緣線OM是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的一部分．以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則p=0.5，易求得邊緣線OM所在拋物線的方程為：x²=y…3分
要使如圖的五邊形ABCEF面積最大，則必有EF所在直線與拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為 （x₀，y₀）
則直線EF的方程為：y-y₀=2x₀（x-x₀），
由此可求得點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為（0，-x₀²），(

1 4 +x0 2

2x0

，

1

4

)
梯形的面積為0.5-

1

2

×(

1

4

+x0 2)×

1 4 +x0 2

2x0

=0.5-

1

64

×

16x0 4+8x0 2+1

x0

，x0∈(0，

1

2

]
令t=

16x0 4+8x0 2+1

x0

，x0∈(0，

1

2

]
則t′=

48x0 4+8x0 2-1

x0 2

=

12(4x0 2+1)(x0+ 3 6 )(x0- 3 6 )

x0 2

顯然函數(shù)t在 (0，

3

6

)上是減函數(shù)，在 (

3

6

，

1

2

)上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x0=

3

6

時，t取得最小值，相應(yīng)地，五邊形ABCEF的面積最大．…12分
此時點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為(

3

3

， 

1

4

)，(0，-

1

12

)，
即沿直線EF畫線段切割可使五邊形ABCEF的面積最大．…13分

點(diǎn)評：本題考查拋物線的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件建立起拋物線模型，再由圖形將所研究的面積問題用一個函數(shù)關(guān)系表示出來，利用函數(shù)最值確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)定下切線的位置，本題運(yùn)算量相當(dāng)大，模型先是建立圓錐曲線模型，再建立切線模型，最后又建立起面積模型，并用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定出面積取最值時切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，極易出錯．