Question

將邊長分別為1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、…、第n個(gè)陰影部分圖形．設(shè)前n個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為f（n）．記數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（1）求f（n）的表達(dá)式；
（2）寫出a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記b_n=a_n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，第1個(gè)陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個(gè)陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個(gè)陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²，從而可得f（n）的表達(dá)式；
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=f（n-1）=2n-1，當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，由此可得結(jié)論；
（3）由（2）知b_n=，根據(jù)，可得b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0，再分類討論，即可求得s的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，第1個(gè)陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個(gè)陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個(gè)陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²．（2分）
故f（n）==2n+1                 （4分）
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=f（n-1）=2n-1，（3分）
當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，
故a_n=．                     （5分）
（3）由（2）知b_n=．
又，∴b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0．
（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，即b₂（b₁-b₃）=（3+s）（-6）＞0，于是3+s＜0，∴s＜-3
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[4（n+1）-5+s][（2n-1+s）-（2n+3+s）]=（4n-1+s）（-4）＞0
于是4n-1+s＜0，∴s＜（-4n+1）_max=-7．      （3分）
（ⅲ）當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，
即[2（n+1）-1+s][（4n-5+s）-（4n+3+s）]=（2n+1+s）（-8）＞0
于是2n+1+s＜0，∴s＜（-2n-1）_max=-7．        （5分）
綜上所述：s＜-3．                        （7分）
點(diǎn)評：本題考查歸納推理，考查學(xué)生的閱讀能力，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．