Question

將邊長分別為1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、…、第n個陰影部分圖形．容易知道第1個陰影部分圖形的周長為8．設(shè)前n個陰影部分圖形的周長的平均值為f（n），記數(shù)列{a_n}滿足．
（1）求f（n）的表達式；
（2）寫出a₁，a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=a_n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形觀察，得第n個陰影部分圖形的周長為8n，利用等差數(shù)列的求和公式即可得到f（n）的表達式；
（2）根據(jù)題中a_n的表達式，不難寫出它3項，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況加以討論，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，可得a_n關(guān)于n的分段函數(shù)的表達式；
（3）利用行列式乘法法則，得原不等式有解即b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況加以討論，最后綜合可得實數(shù)s的取值范圍．
解答：解：（1）根據(jù)題意，第1個陰影部分圖形的周長為8，第2個陰影部分圖形的周長為16，…，
第n個陰影部分圖形的周長為8n，（2分）
故f（n）=．       （4分）
（2）a₁=f（1）=8，a₂=f（a₁）=f（8）=36，a₃=f（3）=20，
①當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=f（n）=4n+4            （3分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=f（a_n-1）=4a_n-1+4=4[4（n-1）+4]+4=16n+4，
∴a_n=．                  （5分）
（3）b_n=a_n+s=
有解，即b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，
①當(dāng)n為奇數(shù)時，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
[16（n+1）+4+s][4n+4+s-4（n+2）-4-s]＞0，
亦即16（n+1）+4+s＜0有解，故s＜（-16n-20）_max=-36         （3分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
即[4（n+1）+4+s][16n+4+s-16（n+2）-4-s]＞0，
于是4（n+1）+4+s＜0，故s＜（-4n-8）_max=-16．           （5分）
欲使有解，以上兩種情況至少一個成立，
故s的取值范圍是s＜-16．                            （7分）
點評：本題以一個實際問題為例，考查了等差數(shù)列的通項與求和公式、二階行列式的計算和不等式解集非空的討論等知識，屬于基礎(chǔ)題．