Question

12．設雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），若存在圓心在雙曲線的一條慚近線上且與另一條慚近線及x軸都相切的圓，則雙曲線的慚近線方程是y=$±\sqrt{3}$x，離心率為2．

Answer 1

分析 不妨設圓心在雙曲線一條漸近線y=$\frac{a}x$上，設出C的坐標，由C到x軸的距離等于到直線y=-$\frac{a}x$的距離列式求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程分別為y=-$\frac{a}x$和y=$\frac{a}x$，
不妨設圓心在雙曲線一條漸近線y=$\frac{a}x$上，
設圓C的圓心C（${x}_{0}，\frac{a}{x}_{0}$），
由題意可知，C到x軸的距離等于C到直線y=-$\frac{a}x$的距離，
則$|\frac{a}{x}_{0}|=\frac{|b{x}_{0}+a•\frac{a}{x}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{|2b{x}_{0}|}{c}$，
即$\frac{a}=\frac{2b}{c}$，
∴$\frac{c}{a}=e=2$．此時c=2a，則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}a$，
則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
即雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{3}$x，
故答案為：y=$±\sqrt{3}$x，2．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了點到直線距離公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，根據(jù)條件建立方程是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．