Question

1．如圖，A、B、C、D為空間四點(diǎn)，△ABC中，AB=AC=BC=2，等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，則CD=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)M，連接DM、CM，利用空間中的垂直關(guān)系證明DM⊥CM，再用直角三角形的邊角關(guān)系求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：取AB的中點(diǎn)M，連接DM、CM，如圖所示：

則CM⊥AB，DM⊥AB，∴CM=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
又平面ADB⊥平面ABC時(shí)，且DM?平面ADB，
∴DM⊥平面ABC，
又CM?平面ABC，∴DM⊥CM；
∴△CMD是直角三角形，
∴CD²=DM²+CM²=${（\sqrt{3}）}^{2}$+${（\sqrt{3}）}^{2}$=6，
∴CD=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用線面垂直的方法來(lái)證明線線垂直問(wèn)題，也考查了空間想象能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．