Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，橢圓上的點(diǎn)M滿足MF₁⊥x軸，MA的中點(diǎn)為N，直線NF₂的斜率k=-$\frac{5}{9}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若直線NF₁交橢圓于H，K兩點(diǎn)，且|HK|=$\frac{50}{3}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（a，0）．把x=-c代入橢圓方程可取M$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，N$（\frac{a-c}{2}，\frac{^{2}}{2a}）$．利用斜率計(jì)算公式可得：9c²+15ac-14a²=0，4=0，解出即可．
（2）由e=$\frac{2}{3}$，可得$a=\frac{3}{2}c$，N$（\frac{c}{4}，\frac{5}{12}c）$，利用斜率計(jì)算公式可得${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$，直線NF₁的方程為：$y=\frac{1}{3}（x+c）$．與橢圓方程聯(lián)立化為24x²+8cx-41c²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|HK|=$\sqrt{（1+\frac{1}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，解得c．即可得出．

解答 解：（1）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（a，0）．
把x=-c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=$±\frac{^{2}}{a}$，取M$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，
∴N$（\frac{a-c}{2}，\frac{^{2}}{2a}）$．
∴直線NF₂的斜率k=-$\frac{5}{9}$=$\frac{\frac{^{2}}{2a}-0}{\frac{a-c}{2}-c}$，化為9c²+15ac-14a²=0，
∴9e²+15e-14=0.0＜e＜1．
解得e=$\frac{2}{3}$．
（2）∵e=$\frac{2}{3}$，∴$a=\frac{3}{2}c$，∴N$（\frac{c}{4}，\frac{5}{12}c）$，
∴${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{\frac{5}{12}c-0}{\frac{c}{4}-（-c）}$=$\frac{1}{3}$，
∴直線NF₁的方程為：$y=\frac{1}{3}（x+c）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}（x+c）}\\{\frac{4{x}^{2}}{9{c}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{5{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化為24x²+8cx-41c²=0，∴x₁+x₂=-$\frac{1}{3}c$，x₁x₂=$-\frac{41{c}^{2}}{24}$．
∴|HK|=$\sqrt{（1+\frac{1}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{10}{9}×（\frac{{c}^{2}}{9}+4×\frac{41{c}^{2}}{24}）}$=$\frac{50}{3}$，
化為c²=36，解得c=6．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{45}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．