Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)，
（1）當(dāng)a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將原式化成：f(x)=

x2+2x+ 1 2

x

  = x+

1

2x

 +2，再利用基本不等式即可求得函數(shù)f（x）的最小值；
（2）原題等價(jià)于x²+2x+a＞0對x∈[1，+∞）恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性只須g（1）＞0，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的一次函數(shù)恒成立問題，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可解決問題．

解答：解：（1）f(x)=

x2+2x+ 1 2

x

  = x+

1

2x

 +2
因?yàn)楫?dāng)x∈[1，+∞），f（x）為增函數(shù)
所以f(x)≥ 1+

1

2

+2=3

1

2

當(dāng)x=1時最小值是

7

2

（2）因?yàn)閤≥1所以原題等價(jià)于x²+2x+a＞0對x∈[1，+∞）恒成立
又因?yàn)楫?dāng)x≥-1時g（x）=x²+2x+a是增函數(shù)
所以只需g（1）＞0即可a＞-3
（3）f(x)＞4 ?

x2+2x+a

x

＞4 ?

x2+2x+a

x

-4＞0h(a)=

x2+2x+a

x

 -4=

1

x

a+x-2
因?yàn)閤∈[1，+∞）所以只需h（-1）＞0得x＞1

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．