Question

商場(chǎng)銷售某種商品，若銷售量是商品標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，銷售量越少．把銷售量為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無(wú)效價(jià)格，已知無(wú)效價(jià)格為15元/件．如果該商品的成本價(jià)是5元/件，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的標(biāo)價(jià)出售，且能夠全部售完．
（I）商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)，該商品的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？
（II）記商場(chǎng)的銷售利潤(rùn)與標(biāo)價(jià)之比為價(jià)格效益，則標(biāo)價(jià)為何值時(shí)，價(jià)格效益最大？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)銷售量為n，商品的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元．則n=kx+b（k＜0），把已知代入可求n與k的關(guān)系，從而可得y與x的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（II）記y₁為價(jià)格效益，則=，利用基本不等式可求函數(shù)的最大值
解答：解：（I）設(shè)銷售量為n，商品的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元．
則n=kx+b（k＜0）
∵0=15k+b，b=-15k，
∴n=k（x-15），
y=（x-5）k（x-15）=k（x-10）²-25k，x∈（5，15]．        …（4分）
∵k＜0
∴x=10時(shí)，y_max=-25k．即商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)商品的標(biāo)價(jià)應(yīng)為每件10元．…（6分）
（II）記y₁為價(jià)格效益，則=
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，y最大
∴標(biāo)價(jià)為每件元時(shí)，價(jià)格效益最大…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把題目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后選擇合適的知識(shí)進(jìn)行求解