Question

商場銷售某種商品，若銷售量是商品標價的一次函數，標價越高，銷售量越少．把銷售量為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為15元/件．如果該商品的成本價是5元/件，商場以高于成本價的標價出售，且能夠全部售完．
（I）商場要獲得最大利潤，該商品的標價應定為每件多少元？
（II）記商場的銷售利潤與標價之比為價格效益，則標價為何值時，價格效益最大？

Answer 1

分析：（I）設銷售量為n，商品的標價為每件x元，利潤為y元．則n=kx+b（k＜0），把已知代入可求n與k的關系，從而可得y與x的函數關系，結合二次函數的性質可求
（II）記y₁為價格效益，則y1=

k(x-5)(x-15)

x

=k(x+

75

x

-20)，利用基本不等式可求函數的最大值

解答：解：（I）設銷售量為n，商品的標價為每件x元，利潤為y元．
則n=kx+b（k＜0）
∵0=15k+b，b=-15k，
∴n=k（x-15），
y=（x-5）k（x-15）=k（x-10）²-25k，x∈（5，15]．        …（4分）
∵k＜0
∴x=10時，y_max=-25k．即商場要獲取最大利潤商品的標價應為每件10元．…（6分）
（II）記y₁為價格效益，則y1=

k(x-5)(x-15)

x

=k(x+

75

x

-20)≤k(10

3

-20)
當且僅當x=

75

x

即x=5

3

時，y最大
∴標價為每件5

3

元時，價格效益最大…（10分）

點評：本題主要考查了利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是把題目中的數學問題轉化為數學問題，然后選擇合適的知識進行求解