Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a₃=12，且{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列
（1）證明：{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

an

n

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得到an+1-2an=2n，兩邊同時除以2ⁿ⁺¹得答案；
（2）由{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列求其通項公式，得到數(shù)列{

an

n

}的通項公式，然后由等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答： （1）證明：∵a₁=1，a₂=4，a₃=12，且{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，
∴

an+1-2an

an-2an-1

=

a3-2a2

a2-2a1

=

12-8

4-2

=2，
又a₂-2a₁=4-2=2，
∴an+1-2an=2n，
則

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．
∴{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列；
（2）解：∵{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=

n

2

•2n=n•2n-1，
則

an

n

=2n-1，
∴數(shù)列{

an

n

}的前n項和為2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=

1(1-2n)

1-2

=2n-1．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．