Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+b，（x∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，當(dāng)x∈[-1，1]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，建立等式關(guān)系，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先求導(dǎo)f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．再對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)＞1，當(dāng)0＜＜1；分別求得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值即可．
解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3x，f′（2）=6得a=1
由切線方程y=6x-8得f（2）=4；
又f（2）=8a-6+b=b+2，所以b=2
所以a=1，b=2
（2）f（x）=ax³-x²+2
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．
以下分兩種情況討論：
①若＞1即0＜a＜1，當(dāng)x變化時，f’（x），f（x）的變化情況如下表：

X	（-1，0）		（0，1）
f′（x）	+		-
f（x）	↗	極大值	↘

f（-1）=-a-+2，f（1）=a-+2
所以  f（x）_min=f（-1）=-a
②若0＜＜1即a＜1．當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

X	（-1，0）		（0，）		（，1）
f’（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

f（-1）=-a，f（）=2-
而f（）-f（-1）=2--（-a）=+a-＞0
所以f（x）_min=f（-1）=-a
綜合①和②得：f（x）_min=f（-1）=-a．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．