Question

證明：（1）（n∈N）；
（2）2C_2n+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）．

Answer 1

【答案】分析：（1）從右邊開始分析，將3看成1+2，由二項(xiàng)式定理展開可得左式，即原等式可得證明；
（2）觀察左式，可將左式轉(zhuǎn)化為（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ），由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ，（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2^2n-1，相加可得右式，即原等式可得證明；
（3）由二項(xiàng)式定理，將（1+）ⁿ展開可得1+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=1+1++C_n²+…+C_nⁿ；分析可得：（1+）ⁿ＞2；另一方面，用放縮法分析，，（1+）ⁿ=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+++…+＜1+1+++…+；整理可得右式的證明，綜合可證得原不等式．
解答：證明：（1）右式=3ⁿ=（1+2）ⁿ=C₂2+C₂¹2¹+C₂²2²+…+C₂ⁿ2ⁿ==左式；
故得證；
（2）左式=（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ+2^2n-1=3•2^2n-1=右式；
故得證；
（3）由二項(xiàng)式定理，（1+）ⁿ=1+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=1+1+C_n²+…+C_nⁿ；①
由①知，（1+）ⁿ＞2；
另一方面，（1+）ⁿ=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+++…+＜1+1+++…+
＜1+=3；
綜合即2＜（1+）ⁿ＜3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及等式、不等式的證明；注意觀察原等式或不等式的形式，結(jié)合二項(xiàng)式定理，進(jìn)而對(duì)原題題干進(jìn)行恒等變形，最終證明命題．