Question

設函數(shù)f（x）的定義域、值域均為R，f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），且對任意實數(shù)x，均有f(x)+f-1(x)＜

5

2

x，定義數(shù)列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求證：an+1+an-1＜

5

2

an(n=1，2，…)；
（2）設b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求證：bn＜(-6)(

1

2

)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常數(shù)A和B，同時滿足①當n=0及n=1時，有an=

A•4n+B

2n

成立；②當n=2，3，…時，有an＜

A•4n+B

2n

成立．如果存在滿足上述條件的實數(shù)A、B，求出A、B的值；如果不存在，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）在已知f(x)+f-1(x)＜

5

2

x中，令x=a_n，利用函數(shù)、反函數(shù)求值知識，根據(jù)a_n=f（a_n-1）則f^-1（a_n）=a_n-1，化簡整理即可證得；
（2）將（1）變形構造，得出an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)，即有bn＜

1

2

bn-1（n∈N^*），連續(xù)遞推即可證得；
（3）先由①解得A=B=4，再用數(shù)學歸納法證明若②能同時成立，則存在，且A=B=4，否則不存在．

解答：解：（1）∵f(x)+f-1(x)＜

5

2

x，令x=a_n，∴f(an)+f-1(an)＜

5

2

an．
即an+1+a n-1＜

5

2

an．
（2）∵an+1＜

5

2

an-an-1，∴an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)，
即bn＜

1

2

bn-1．∵b₀=a₁-2a₀=-6，
∴bn＜

1

2

bn-1＜(

1

2

)2bn-2＜…＜(

1

2

)nb0=(-6)(

1

2

)n（n∈N^*）．
（3）由（2）可知：an+1＜2an+(-6)(

1

2

)n，
假設存在常數(shù)A和B，使得an=

A•4n+B

2n

對n=0，1成立，
則

a0=A+B=8 a1= 4A+B 2 =10

，解得A=B=4．
下面用數(shù)學歸納法證明an＜

4×4n+4

2n

對一切n≥2，n∈N成立．
1°當n=2時，由an+1+an-1＜

5

2

an，得a2＜

5

2

a1-a0=

5

2

×10-8=17=

4×42+4

22

，
∴n=2時，an＜

4×4n+4

2n

成立．
2°假設n=k（k≥2），不等式成立，即ak＜

4×4k+4

2k

，
則ak+1＜2ak+(-6)(

1

2

)k＜

8×4k+8

2k

+

-6

2k

=

8×4k+2

2k

=

4×4k+1+4

2k+1

即是說當n=k+1時，不等式也成立．
所以存在A，B，且A=B=4．

點評：本題考查反函數(shù)的概念、不等式的證明、數(shù)學歸納法的應用，考查變形轉化構造、歸納推理、分析解決、計算等能力，屬于難題．