Question

（2012•上海二模）已知x軸上的點(diǎn)A₁，A₂…，A_n滿足

.

AnAn+1

=

1

2

.

An-1An

（n≥2，n∈N^*），其中A₁（1，0），A₂（5，0）；點(diǎn)B₁，B₂，…B_n，…在射線y=x（x≥0）上，滿足|

.

OBn+1

|=|

.

OBn

|+2

2

 （n∈N^*），其中B₁（3，3）．
（1）用n表示點(diǎn)A_n與B_n的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線A_nB_n的斜率為k_n，求

lim

n→∞

k_n的值；
（3）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

.

AnAn+1

=

1

2

.

An-1An

，可得xn+1-xn=

1

2

(xn-xn-1)，從而可得{x_n-x_n-1}是以4為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；利用射線y=x（x≥0）上，滿足|

.

OBn+1

|=|

.

OBn

|+2

2

 （n∈N^*），可得{x_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可用n表示點(diǎn)A_n與B_n的坐標(biāo)；
（2）確定直線A_nB_n的斜率為k_n=

2n+1

2n-8+24-n

，從而可求

lim

n→∞

k_n的值；
（3）四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S=

1

2

（9-2^3-n）（2n+3）-

1

2

(9-24-n)(2n+1)=(n-

1

2

)×23-n+9，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，xn+1-xn=

1

2

(xn-xn-1)
∵A₁（1，0），A₂（5，0），∴x₂-x₁=4
∴{x_n-x_n-1}是以4為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴xn-xn-1=4×(

1

2

)n-1
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+4+…+4×(

1

2

)n-1=9-2^4-n
∴A_n（9-2^4-n，0）；
∵射線y=x（x≥0）上，滿足|

.

OBn+1

|=|

.

OBn

|+2

2

 （n∈N^*），
∴

2

x_n+1=

2

xn+2

2

∴x_n+1-x_n=2
∵B₁（3，3）．
∴{x_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴x_n=2n+1
∴B_n（2n+1，2n+1）；
（2）設(shè)直線A_nB_n的斜率為k_n=

2n+1

2n-8+24-n

，∴

lim

n→∞

k_n=

lim

n→∞

2n+1

2n-8+24-n

=1；
（3）四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S=

1

2

（9-2^3-n）（2n+3）-

1

2

(9-24-n)(2n+1)=(n-

1

2

)×23-n+9
設(shè)a_n=(n-

1

2

)×23-n+9，則a_n+1=(n+

1

2

)×22-n+9
∵a_n+1-a_n=[(n+

1

2

)×22-n+9]-[(n-

1

2

)×23-n+9]=

3-2n

4

×23-n
∴a₂＞a₁，a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞…
∴a₂最大，為12
∴四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍為（-∞，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．