Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）：
（1）若a＞0，試確定函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若a=4，求f（x）在[1，3]內的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單調性的定義，設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，這樣便可說明f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上遞減，而在$（\sqrt{a}，+∞）$上遞增，這樣即判斷出了f（x）的單調性；
（2）根據(jù)（1）便知，f（x）在[1，2]上遞減，在[2，3]上遞增，從而x=2時，f（x）取到最小值，然后再求f（1）和f（3）便可得出f（x）的最大值，即可得出f（x）在[1，3]上的取值范圍．

解答 解：（1）設x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵a＞0；
∴①${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}]$時，則$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
又x₁-x₂＞0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上單調遞減；
②${x}_{1}，{x}_{2}∈（\sqrt{a}，+∞）$時，$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$（\sqrt{a}，+∞）$上單調遞增；
（2）若a=4，則$f（x）=x+\frac{4}{x}$，根據(jù)上面，f（x）在[1，2]上單調遞減，在（2，3]上單調遞增；
∴f（2）=4是f（x）在[1，3]上的最小值；
又f（1）=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$；
∴f（x）在[1，3]內的取值范圍為[4，5]．

點評 考查函數(shù)單調性的定義，以及根據(jù)單調性的定義判斷函數(shù)單調性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分，并一般要提取公因式x₁-x₂，根據(jù)單調性求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的方法．