【題目】如圖,已知正四棱錐P﹣ABCD中,PA=AB=2,點(diǎn)M,N分別在PA,BD上,且 =
(1)求異面直線MN與PC所成角的大;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.

【答案】
(1)解:設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,AB=PA=2.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),

, 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

則A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(﹣1,1,0),D(﹣1,﹣1,0),…(2分)

設(shè)P(0,0,p),則 =(﹣1,1,p),又AP=2,

∴1+1+p2=4,∴p=

= = =( ),

=( ),

=(﹣1,1,﹣ ), =(0, ,﹣ ),

設(shè)異面直線MN與PC所成角為θ,

則cosθ= = =

θ=30°,

∴異面直線MN與PC所成角為30°


(2)解: =(﹣1,1,﹣ ), =(1,1,﹣ ), =( , ,﹣ ),

設(shè)平面PBC的法向量 =(x,y,z),

,取z=1,得 =(0, ,1),

設(shè)平面PNC的法向量 =(a,b,c),

,取c=1,得 =( ,2 ,1),

設(shè)二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ,

則cosθ= = =

∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值為


【解析】(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,AB=PA=2.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn), , 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量,利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+cx(a>0),其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線 x﹣6y+21=0垂直,導(dǎo)函數(shù)
f′(x)的最小值為﹣12.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在x∈[﹣2,2]的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =l (a>b>0)的焦距為2,離心率為 ,橢圓的右頂點(diǎn)為A.

(1)求該橢圓的方程:
(2)過點(diǎn)D( ,﹣ )作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的
斜率之和為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 =[ ],并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(﹣1,2)變換成(﹣2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個(gè)特征值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,
(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀如下程序框圖,如果輸出i=5,那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為(

A.S=2*i﹣2
B.S=2*i﹣1
C.S=2*I
D.S=2*i+4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n=10,則輸出的S=( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點(diǎn)的平面與棱, 分別交于點(diǎn), , , , 三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處). 

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若平面,求的值;

(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.
(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案