Question

13．已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，
（Ⅰ）若a，b∈R，且a+b≥0，求證f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）
（Ⅱ）寫出（1）中命題的逆命題，判斷其真假并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件推出f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a） 然后推出f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（Ⅱ）寫出逆命題，判斷該命題是真命題，用反證法證明：假設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，推出f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）與已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，得到結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閍+b≥0，∴a≥-b，
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴f（a）≥f（-b）…（2分）
同理f（b）≥f（-a）   …（3分）
所以f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b） …（5分）
（Ⅱ）逆命題是：
“已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0”…（7分）
該命題是真命題．…（8分）
用反證法證明如下：
假設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
由函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)得：f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
…（10分）這與已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾 …（11分）
所以逆命題為真命題．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，命題的真假的判斷與應(yīng)用，不等式的證明，反證法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．