Question

1．若點A（2，2）在矩陣M=$[\begin{array}{l}{cosα}&{-sinα}\\{sinα}&{cosα}\end{array}]$對應(yīng)變換的作用下得到的點為$B（-1-\sqrt{3}，-1+\sqrt{3}）$，求矩陣M的逆矩陣．

Answer 1

分析 根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法，確定矩陣M，再求矩陣的逆矩陣．

解答 解：由題意知，$M[\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}]=[\begin{array}{l}-1-\sqrt{3}\\-1+\sqrt{3}\end{array}]$，即$[\begin{array}{l}2cosα-2sinα\\ 2sinα+2cosα\end{array}]=[\begin{array}{l}-1-\sqrt{3}\\-1+\sqrt{3}\end{array}]$----------------------（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}2cosα-2sinα=-1-\sqrt{3}\\ 2sinα+2cosα=-1+\sqrt{3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}cosα=-\frac{1}{2}\\ sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$從而$M=[\begin{array}{l}-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}\end{array}]$-----------（6分）
由${M^{-1}}M=[\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;0\\ 0\;1\end{array}]$，解得${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$．----------------------------------------（10分）

點評 本題考查矩陣的求法，考查矩陣的逆矩陣，屬于基礎(chǔ)題．