Question

18．如圖，邊長為3$\sqrt{3}$的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）當BE=BF=$\frac{1}{3}$BC時，求三棱錐A′-EFD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明A′D⊥EF；
（2）根據(jù)三棱錐的條件公式，利用轉(zhuǎn)化思想進行求解即可．

解答 （1）證明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF；
（2）由（1）知，A′D⊥平面A′EF，
∴A′D的長即為三棱錐D-A′EF的高，
則A′E=A′F=$\frac{3}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
作A′O⊥EF于O，
∴A′O=$\sqrt{A'{E}^{2}-（\frac{1}{2}EF）^{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$，
則V_A′-EFD=V_D-A'EF=$\frac{1}{3}A'D•{S}_{△A'EF}$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}EF•A'O$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{42}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題主要考查空間直線和直線垂直的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)相應的判定定理以及棱錐的體積公式是解決本題的關鍵．