Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點E，F(xiàn)分別為棱AC，AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；     
（2）設(shè)，求三棱錐A－BFE的體積．

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）.

解析試題分析：（1）注意分析折疊前后變化的關(guān)系及不變化的關(guān)系.在圖甲中可得；
在圖乙中，可得AB⊥CD．根據(jù)DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．
（2）首先根據(jù)E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點，得到EF//CD，根據(jù)（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，從而得到 
在圖甲中，根據(jù)給定角度及長度，計算“不變量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，
利用體積公式計算即得所求．
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點所在，平時學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，等體積轉(zhuǎn)化的方法，是立體幾何中常用方法之一.
（1）證明：在圖甲中∵且 ∴，
即                                     1分
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD
                          4分
又，，且，∴DC⊥平面ABC．           6分
（2）解：，                 7分
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，                   8分
所以，                      9分
在圖甲中，
由得，，                   10分
，
              11分
                           12分
考點：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，幾何體的體積.