Question

在平面x0y內，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域為U，不等式組確定的平面區(qū)域為V．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”．在區(qū)域U任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U每次任取1個點，連續(xù)取3次，得到3個點，記這3個點在區(qū)域V的個數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點為13個，整點在平面區(qū)域V的有3個，由此能求出這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率．
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=．在區(qū)域U任取1個點，則該點在區(qū)域V的概率為，隨機變量X的可能取值為：0，1，2，3．分別求出其概率，由此能夠求出X的分布列和EX．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點為：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13個，
上述整點在平面區(qū)域V的為：（0，0），（1，0），（2，0）共有3個，
∴P==．…（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，
平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=．
在區(qū)域U任取1個點，則該點在區(qū)域V的概率為，
隨機變量X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-）³=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列為

X		1	2	3
P

∴X的數學期望：EX=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．