在平面x0y內(nèi),不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域為U,不等式組確定的平面區(qū)域為V.
(Ⅰ)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”.在區(qū)域U任取3個整點,求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率;
(Ⅱ)在區(qū)域U每次任取1個點,連續(xù)取3次,得到3個點,記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】分析:(Ⅰ)依題可知平面區(qū)域U的整點為13個,整點在平面區(qū)域V的有3個,由此能求出這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率.
(Ⅱ)依題可得,平面區(qū)域U的面積為π•22=4π,平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=.在區(qū)域U任取1個點,則該點在區(qū)域V的概率為,隨機變量X的可能取值為:0,1,2,3.分別求出其概率,由此能夠求出X的分布列和EX.
解答:(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)依題可知平面區(qū)域U的整點為:(0,0),(0,±1),(0,±2),
(±1,0),(±2,0),(±1,±1),共13個,
上述整點在平面區(qū)域V的為:(0,0),(1,0),(2,0)共有3個,
∴P==.…(4分)
(Ⅱ)依題可得,平面區(qū)域U的面積為π•22=4π,
平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=
在區(qū)域U任取1個點,則該點在區(qū)域V的概率為
隨機變量X的可能取值為:0,1,2,3.
P(X=0)=(1-3=,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
∴X的分布列為
 X123
P
∴X的數(shù)學(xué)期望:EX=0×+1×+2×+3×=.…(12分)
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,是歷年高考的必考題型,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意概率知識的合理運用.
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x-2y≥0
x+3y≥0
確定的平面區(qū)域為V.
(Ⅰ)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”.在區(qū)域U任取3個整點,求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率;
(Ⅱ)在區(qū)域U每次任取1個點,連續(xù)取3次,得到3個點,記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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在平面xoy內(nèi),不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域為U,不等式組確定的平面區(qū)域為V.

(Ⅰ)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”.在區(qū)域U任取3個整點,求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率;

(Ⅱ)在區(qū)域U每次任取1個,連續(xù)取3次,得到3個,記這3個在區(qū)域V的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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在平面x0y內(nèi),不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域為U,不等式組確定的平面區(qū)域為V.
(Ⅰ)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”.在區(qū)域U任取3個整點,求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率;
(Ⅱ)在區(qū)域U每次任取1個點,連續(xù)取3次,得到3個點,記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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