Question

3．己知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x+1）為奇函數(shù)，f（0）=0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=log₂x，則在區(qū)間（8，9）內(nèi)滿足方f（x）程f（x）+2=f（$\frac{1}{2}$）的實(shí)數(shù)x為 （　　）

• A． $\frac{17}{2}$
• B． $\frac{67}{8}$
• C． $\frac{33}{4}$
• D． $\frac{65}{8}$

Answer 1

分析 由f（x+1）為奇函數(shù)，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）為偶函數(shù)可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數(shù)．當(dāng)8＜x≤9時(shí)，求得f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．由log₂（x-8）+2=-1得x的值．

解答 解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，即f（x+1）=-f（-x+1），即f（x）=-f（2-x）．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，2-x∈（0，1），∴f（x）=-f（2-x）=-log₂（2-x）．
又f（x）為偶函數(shù)，即f（x）=f（-x），于是f（-x）=-f（-x+2），
即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數(shù)．
∵f（1）=0，∴當(dāng)8＜x≤9時(shí)，0＜x-8≤1，f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（x）+2=f（$\frac{1}{2}$）可化為log₂（x-8）+2=-1，得x=$\frac{65}{8}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．