Question

7．已知拋物線C：y²=2px（p＞1）的焦點為F，直線y=m與y軸的交點為P，與C的交點為Q（x₀，y₀），且$\frac{|QF|}{|PQ|}$=p．
（1）當x₀+p取得最小值時，求p的值；
（2）當x₀=1時，若直線l與拋物線C相交于A，B兩點，與圓M：（x-n）²+y²=1相交于D，E兩點，O為坐標原點，OA⊥OB，試問：是否存在實數n，使得|DE|的長為定值？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用條件表示x₀，根據基本不等式即可求出當x₀+p取得最小值時，p的值；
（2）設AB的方程為x=ty+m，代入拋物線方程可得y²-4ty-4m=0，求出直線方程，利用勾股定理表示|DE|，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意|QF|=|QP|+$\frac{p}{2}$=p，∴|PQ|=$\frac{p}{2（p-1）}$=x₀，
∴x₀+p=$\frac{p}{2（p-1）}$+p=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2（p-1）}$+p-1≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{1}{2（p-1）}$=p-1，即p=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，x₀+p取得最小值；
（2）當x₀=1時，$\frac{p}{2（p-1）}$=1，∴p=2，
設AB的方程為x=ty+m，代入拋物線方程可得y²-4ty-4m=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，
由OA⊥OB得：（ty₁+m）（ty₂+m）+y₁y₂=0，解得m=4，
∴l(xiāng)：x=ty+4，
圓心到直線的距離d=$\frac{|n-4|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
∴|DE|=2$\sqrt{1-\frac{（n-4）^{2}}{1+{t}^{2}}}$，n=4時，|DE|=2．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．