Question

1．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=4，前n項(xiàng)和S_n=11，又a₁，a₇，a₁₀成等比數(shù)列．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的公差d；
（2）求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d，注意檢驗(yàn)；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程即可得到整數(shù)n．

解答 解：（1）a₁，a₇，a₁₀成等比數(shù)列，可得
a₁a₁₀=a₇²，
即為4（4+9d）=（4+6d）²，
解得d=0或-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)d=0，即有4n=11，n=$\frac{11}{4}$不為整數(shù)，舍去．
可得d=-$\frac{1}{3}$；
（2）由S_n=11，可得4n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=11，
當(dāng)d=0時，即有4n=11，n=$\frac{11}{4}$不為整數(shù)，舍去；
當(dāng)d=-$\frac{1}{3}$時，即有4n-$\frac{1}{6}$n（n-1）=11，
解得n=3（舍去）或n=22．
則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n=22．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，注意n為整數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．