Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一個頂點為C（0，-2），直線l與橢圓E交于A、B兩點，若E的左焦點為△ABC的重心，則直線l的方程為（　�。�

• A． 6x-5y-14=0
• B． 6x-5y+14=0
• C． 6x+5y+14=0
• D． 6x+5y-14=0

Answer 1

分析 先由橢圓左焦點F₁恰為△ABC的重心，得相交弦AB的中點坐標(biāo)，再由點A、B在橢圓上，利用點差法，將中點坐標(biāo)代入即可的直線l的斜率，最后由直線方程的點斜式寫出直線方程即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點為（-1，0），
∵點C（0，-2），且橢圓左焦點F₁恰為△ABC的重心
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}$=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}-2}{3}$=0
∴x₁+x₂=-3，y₁+y₂=2     ①
∵$\frac{{x}_{1}^{2}}{5}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{5}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，
∴兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{5}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0
將①代入得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，即直線l的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∵直線l 過AB中點（-$\frac{3}{2}$，1）
∴直線l的方程為y-1=$\frac{6}{5}$（x+$\frac{3}{2}$）
故答案為6x-5y+14=0，
故選B．

點評 本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系、三角形的重心坐標(biāo)公式、直線的點斜式方程，屬于中檔題．