Question

5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=$\sqrt{5}$，b=4，且△ABC的面積S=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$．
（I）求sinB的值；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）=2sinAcos²x-cosAsin2x-$\frac{1}{2}$，x∈R，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可得sinB的值
（II）利用正弦定理化簡可得f（x），結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（I）由題意S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB．
可得：sinB=2cosB，
由sin²B+cos²B=1，0＜B＜π．
從而解得sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（II）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，a=$\sqrt{5}$，b=4，
可得sinA=$\frac{1}{2}$．
∵b＞a
∴A=$\frac{π}{6}$．
那么：f（x）=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．