Question

【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn),將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.

　　　　　圖1　　　　　　　　　　　　　圖2

(1)證明:CD⊥平面A1OC;

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析；(2)

【解析】試題分析：（1）折起后， 根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，即可證明平面；（2）若平面平面，根據(jù)（1）可得 兩兩垂直，以 建立空間坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零，分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：(1) 在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),∠BAD= AD∥BC,

所以BE⊥AC,BE∥CD,

即在題圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,

從而B(niǎo)E⊥平面A1OC,

又CD∥BE,

所以CD⊥平面A1OC.

(2)解:因?yàn)槠矫鍭1BE⊥平面BCDE,

又由(1)知BE⊥OA1,BE⊥OC,

所以∠A1OC為二面角A1BEC的平面角,

所以∠A1OC=.

如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,

BC∥ED,

所以B

（,0,0）,E（- ,0,0）,

A1（0,0, ）,C（0, ,0）,

得=（-, ,0）, =（0, ,- ）,

= (-,0,0).

設(shè)平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),

平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD夾角為θ,

則

得

取n1=(1,1,1);

得

取n2=(0,1,1),

從而cos θ=|cos<n1,n2>|= =,

即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.