Question

下列結(jié)論中正確的是

 

①等差數(shù)列a_n的前n和為S_n，則數(shù)列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數(shù)列；
②等比數(shù)列a_n的前n和為S_n，則數(shù)列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等比數(shù)列；
③等比數(shù)列a_n的前n積為T(mén)_n，則數(shù)列：T_n，

T2n

Tn

，

T3n

T2n

，…為等比數(shù)列；
④等差數(shù)列a_n的前n和為S_n，若數(shù)列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列a_n的公差為0；
⑤等比數(shù)列a_n的前n和為S_n，若數(shù)列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…為常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列a_n的公比為1．

Answer 1

分析：①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數(shù)列；
②根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到（S_2n-S_n）²與S_n•（S_3n-S_2n）相等，得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…是等比數(shù)列；
③根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，得到(

T2n

Tn

)2=T_n•

T3n

T2n

，所以此數(shù)列為等比數(shù)列；
④根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，得到2（S_2n-S_n）=S_n•（S_3n-S_2n），即可求出公差d的值；
⑤根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，得到（S_4n-S_2n）²與S_2n•（S_6n-S_4n）相等，即可求出公比q的值．

解答：解：①設(shè)等差數(shù)列a_n的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數(shù)列．此選項(xiàng)正確；
②設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，等比為q，
則S_n=

a1(1-qn)

1-q

，S_2n-S_n=

a1(1-q2n)

1-q

-

a1(1-qn)

1-q

=

a1qn(1- qn)

1-q

，同理S_3n-S_2n=

a1q2n(1-qn)

1-q

，
所以（S_2n-S_n）²=S_n（S_3n-S_2n），得到此數(shù)列為等比數(shù)列，此選項(xiàng)正確；
③T_n=a₁a₂…a_n，

T2n

Tn

=a_n+1a_n+2…a_2n=qn2（a₁a₂…a_n），

T3n

T2n

=a_2n+1a_2n+2…a_3n=qn2（a_n+1a_n+2…a_2n），
所以(

T2n

Tn

)2=T_n•

T3n

T2n

，所以此數(shù)列為等比數(shù)列，此選項(xiàng)正確；
④因?yàn)閿?shù)列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為常數(shù)數(shù)列，設(shè)S_n=a，則S_2n-S_n=a，解得：S_2n=2a，
而2S_n=2na₁+

2n(n-1)

2

d，S_2n=2na₁+

2n(2n-1)

2

d，所以解得d=0，此選項(xiàng)正確；
⑤若數(shù)列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…為常數(shù)數(shù)列，設(shè)S_2n=b，則S_4n-S_2n=b，解得S_4n=2b，
假如公比q=1，得到數(shù)列不為常數(shù)列，所以公比q不可能為1，此選項(xiàng)錯(cuò)，
所以結(jié)論正確的序號(hào)有：①②③④
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．