Question

20．已知函數(shù)y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的最小值為f（t）．
（ I）求f（t）的表達(dá)式；
（ II）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，求函數(shù)f（t）的值域．

Answer 1

分析 （ I）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論其單調(diào)性，求其最小值即可．
（ II）根據(jù)f（t）的表達(dá)式，當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，利用單調(diào)性可得其函數(shù)f（t）的值域．

解答 解：（ I）因?yàn)楹瘮?shù)y=1-2t-2tx+2x²（-1≤x≤1）的對(duì)稱軸為$x=\frac{t}{2}$，開口向上，
�。┊�(dāng)$\frac{t}{2}＜-1$即t＜-2時(shí)；y=1-2t-2tx+2x²在[-1，1]為增函數(shù)，
所以：y_min=y|_x=-1=3．
ⅱ）當(dāng)$-1≤\frac{t}{2}≤1$即-2≤t≤2時(shí)；y=1-2t-2tx+2x²，[-1，1]對(duì)稱軸處取得最小值，
所以：${y_{min}}=y{|_{x=\frac{t}{2}}}=-\frac{t^2}{2}-2t+1$．
ⅲ）當(dāng)$\frac{t}{2}＞1$即t＞2時(shí)，在[-1，1]為減函數(shù)，
∴y_min=y|_x=1=-4t+3．
綜上所述：$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$；
（ II）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，由$f（t）=\left\{{\begin{array}{l}{3，t＜-2}\\{-\frac{t^2}{2}-2t+1，-2≤t≤2}\\{-4t+3，t＞2}\end{array}}\right.$，
可知：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$，
由于對(duì)稱軸為：t=-2．
所以：$f（t）=-\frac{t^2}{2}-2t+1$在[-2，0]上為單調(diào)減函數(shù)，
故函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的討論思想，分段函數(shù)的表達(dá)式求法，單調(diào)性的利用．屬于中檔題．