Question

2．對任意的x，y∈R函數(shù)f（x）都滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1恒成立，則f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（-1）+f（-2）+f（-3）+f（-4）=（　　）

• A． 1
• B． -9
• C． -8
• D． 2

Answer 1

分析 f（x+y）=f（x）+f（y）+1，即為f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，令g（x）=f（x）+1，判斷g（x）為奇函數(shù)，即可得到所求值．

解答 解：f（x+y）=f（x）+f（y）+1，即為
f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，
令g（x）=f（x）+1，則g（x+y）=g（x）+g（y），
令x=y=0，可得g（0）=0，
令y=-x，可得g（0）=g（x）+g（-x）=0，
即有g（x）為奇函數(shù)，
則f（x）+f（-x）=-2，f（0）=-1，
則f（4）+f（3）+f（2）+f（1）
+f（0）+f（-1）+f（-2）+f（-3）+f（-4）=-2×4-1=-9．
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)的奇偶性的判斷和運用：求函數(shù)值，考查運算能力，屬于中檔題．