Question

11．設點P是雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$上一點，焦點F（2，0），點A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值時，則點P的坐標是$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

Answer 1

分析 根據題意算出雙曲線的離心率e=2，右準線方程為x=$\frac{1}{2}$．連結PF，過P作右準線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|，從而得出|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計算，可得滿足條件的點P的坐標．

解答 解：∵雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$中，a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴c=2，
可得雙曲線的離心率e=2，右準線方程為x=$\frac{1}{2}$，
設右準線為l，過P作PM⊥l于M點，連結PF，
由雙曲線的第二定義，可得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|．
∴|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，
運動點P，可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．
此時經過P、A、M三點的直線與x軸平行，
設P（m，2），代入雙曲線方程得m=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，得點P（$\frac{\sqrt{21}}{3}$，2）．
∴滿足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|）有最小值的點P坐標為$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

點評 本題給出定點A與雙曲線上的動點P，求4|PA|+2|PF|有最小值時點P的坐標．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．