Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＜0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)g（x）=f（x）-2cos2x時(shí)，如何由函數(shù)y=sinx的圖象通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到函數(shù)y=g（x）的圖象，寫(xiě)出變換過(guò)程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函數(shù)f（x）的解析式，需找到A，ω，φ的值，A是振幅，是圖象離開(kāi)平衡位置的最大位移，由圖象可知；ω與函數(shù)周期有關(guān)，周期T=

2π

ω

，根據(jù)圖象找到周期，可得ω的值，再代一點(diǎn)，就可求出∅值．
（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，把y=sinx的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=sin（x-

π

6

）的圖象；再把sin（x-

π

6

）圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=sin（2x-

π

6

）的圖象；把y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的

1

2

，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）由圖象知A=2，f（x）的最小正周期T=4×（

5π

12

-

π

6

）=π，∴ω=2
將點(diǎn)（

π

6

，2）代入得sin（

π

3

+φ）=1，又，|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（Ⅱ）g（x）=2sin（2x+

π

6

）-2cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
變換如下：把y=sinx的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=sin（x-

π

6

）的圖象；再把sin（x-

π

6

）
圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=sin（2x-

π

6

）的圖象；
把y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三角函數(shù)圖象求解析式，以及函數(shù)圖象變換，做題時(shí)要細(xì)心．