Question

16．在△ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c，若b=acosC且△ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）依題意，利用正弦定理可得sinAcosC=sinB，再利用誘導(dǎo)公式與兩角和的正弦公式得到cosAsinC=0，從而可判斷△ABC的形狀．
（2）由題意可求最小角所對的邊長為：12×$\frac{1}{3}$=4，另一直角邊為：$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，從而可求三角形面積．

解答 解：（1）在△ABC中，∵acosC=b，
∴sinAcosC=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosAsinC=0，sinC＞0，
∴cosA=0，A=90°，
∴△ABC的形狀是直角三角形，
（2）∵A=90°，且△ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
∴最小角所對的邊長為：12×$\frac{1}{3}$=4，另一直角邊為：$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$4×8\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的形狀的判斷及三角形面積的求法，著重考查正弦定理，勾股定理與兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．