Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞0，b=-2，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f（x）不大于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，f（0）=0，f（-x）=-f（x）求解f（x）的表達(dá)式；
（2）分情況討論去掉絕對(duì)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求a的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=x|x-a|+b，
所以f（-x）=（-x）|（-x）-a|+b=-x|x+a|+b，
又f（x）是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），
 即-x|x+a|+b=-x|x-a|-b，
即x（|x-a|-|x+a|）-2b=0，
又f（0）=0⇒b=0，
所以x（|x-a|-|x+a|）=0，
所以|x-a|=|x+a|，
兩邊平分得：（x-a）²=（x+a）²，即x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
所以2ax=0
解得：a=0
故f（x）=x|x|；
（2）b=-2時(shí)，f（x）=

x2-ax-2(x≥a) -x2+ax-2(x＜a)

圖象如圖：
①當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，只需f（1）≤0，-1+a-2≤0，解得2＜a≤3；
②當(dāng)

a

2

≤1＜a，即1＜a≤2時(shí)，只需f（x）_max=f（

a

2

）≤0，即

a2

4

-2≤0，解得：1＜a≤2；
③當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在[0，1]上先減后增，

f( a 2 )≤0 f(1)≤0

⇒

-2 2 ≤a≤2 2 -1-a≤0

，解得-1≤a≤1，
綜上：-1≤a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．