Question

6．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，周期為1，當(dāng)0≤x＜1時(shí)f（x）=x，若函數(shù)f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{64}，1]$
• B． $[\frac{1}{8}，1]$
• C． $（\frac{1}{64}，1）$
• D． $（\frac{1}{8}，1）$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，列出方程轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，周期為1，當(dāng)0≤x＜1時(shí)f（x）=x，函數(shù)f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象，如圖，y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

可知2x²+$\sqrt{k}$=x只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=1-8$\sqrt{k}$=0，解得k=$\frac{1}{64}$，
此時(shí)，直線y=x（x∈（0，1））與y=2x²+$\sqrt{k}$相切，有兩個(gè)交點(diǎn)，
其中函數(shù)y=2x²+$\sqrt{k}$在（-1，0），只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x=-1時(shí)，g（-1）=2+$\frac{1}{8}$＞1，說明x＜-1沒有公共點(diǎn)，當(dāng)k＞1時(shí)，g（0）=$\sqrt{k}$＞1沒有公共點(diǎn)．
函數(shù)f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得k$∈（\frac{1}{64}，1）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．