Question

已知集合U_n={1，2，3，4，…，n}，n∈N^*，n＞2，它的子集合A，B滿足：A∪B=U，A∩B=Φ，且若集合A的元素的個數(shù)不是集合A的元素，集合B的元素的個數(shù)不是集合B的元素，設(shè)滿足條件的所有不同集合A的個數(shù)為a_n，如U₃={1，2，3}，滿足條件的集合A為{2}，{1，3}共兩個，故a₃=2．
（1）a₆=

 

；
（2）a_n=

 

．（n＞2）．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）根據(jù)題意，運用列舉法分別寫出滿足條件的集合A，即可得到答案；
（2）討論n為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，通過前幾項歸納總結(jié)出a_n的通項．

解答： 解：（1）∵U₆={1，2，3，4，5，6}，
∴由a_n的定義可得，滿足條件的集合A為{5}，{1，4}，{3，4}，{5，4}，{6，4}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{1，2，3，6}，
{1，2，3，5}，{1，2，3，4，6}共十個，故a₆=10．
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，a₃=2，a₅=8=2³，a₇=32=2⁵，…，a_n=2^n-2；
當(dāng)n為偶數(shù)時，a₄=2=2^4-2-

C

4-2 2 4-2

，a₆=10=2^6-2-

C

6-2 2 6-2

，a₈=44=2^8-2-

C

8-2 2 8-2

，…，a_n=2^n-2-

C

n-2 2 n-2

，
∴a_n=

2n-2，n為奇數(shù) 2n-2 -C n-2 2 n-2 ，n為偶數(shù)

（n＞2），
故答案為：

2n-2，n為奇數(shù) 2n-2 -C n-2 2 n-2 ，n為偶數(shù)

．

點評：本題考查不完全歸納在解題中的運用，關(guān)鍵在于通過幾個特殊的項，加以歸納總結(jié)．