Question

已知向量

a

=（2sin（ωx+

2π

3

），2），

b

=（2cosωx，0）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的圖象與直線y=-2+

3

的相鄰兩個交點之間的距離為π．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的零點在一個周期內(nèi)的個數(shù)，利用y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，判斷b的位置，即可求b的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=4sin（ωx+

2π

3

）cosωx=[4sinωx（-

1

2

）+4×

3

2

cosωx]cosωx=2

3

cos²ωx-sin2ωx=

3

(1+cos2ωx)-sin2ωx=2cos(2ωx+

π

6

)+

3

，
由題意得：T=π，ω＞0，∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，
故f（x）=2cos（2x+

π

6

）+

3

.2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ（k∈Z），
∴kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

（k∈Z），
∴y=cos（2x+

π

6

）+

3

的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]（k∈Z）．
當(dāng)k=1時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[

5π

12

，

11π

12

]．
當(dāng)k=2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[

17π

12

，

23π

12

]．
函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間[

5π

12

，

11π

12

]，[

17π

12

，

23π

12

]．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2cos2x+

3

的圖象．
令g（x）=0得，x=kπ+

5π

12

或x=kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)g（x）在每個周期內(nèi)恰好有兩個零點，
若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，
則x不小于第10個零點即可，
∴b的最小值為4π+

7π

12

=

55π

12

．

點評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的圖象的平移變換，函數(shù)的零點．著重考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．