Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形．
（1）AD⊥PB；
（2）若E為PB邊的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)A、D、E的平面交PC于點(diǎn)F，證明：F為PC的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AD的中點(diǎn)M，連PM，BM，只要證明AD⊥平面PBM即可；
（2）充分利用底面是菱形以及E為PB邊的中點(diǎn)，利用線面平行的判定和性質(zhì)，只要得到EF∥BC即可．

解答： 證明：（1）取AD的中點(diǎn)M，連PM，BM，則∵側(cè)面PAD為正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等邊三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD?平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E為PB的中點(diǎn)，故F為PC的中點(diǎn)．                                （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體棱錐中的線面關(guān)系；考查了線面平行的判定和性質(zhì)的運(yùn)用；熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．