Question

已知函數(shù)f（x）=x²+b（b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）＜c的解集為（t，t+5），則實數(shù)c的值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意函數(shù)f（x）=x²+b，（b∈R）的值域為[0，+∞），可得b=0，再根據(jù)不等式f（x）＜c的解集為（t，t+5），然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為t，t+5，最后利用根與系數(shù)的關系建立等式，解之即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+b，（b∈R）的值域為[0，+∞），
∴b=0…①，
∵關于x的不等式f（x）＜c的解集為（t，t+5），
∴方程x²+b-c=0的兩個根為t和t+5，
∴

t2+b-c=0 (t+5)2+b-c=0

解得：c=

25

4

．
故答案為

25

4

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，方程根與系數(shù)的關系一直是高考的熱點問題，此題難度不大，是一道基礎題．