【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=DD1=2AB=2． （Ⅰ） 求證：AD1⊥B1C；
（Ⅱ） 求二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．

【答案】證明：（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
則A（2，0，0），A1（2，0，2），B（2，1，0），B1（2，1，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴AD1⊥B1C．
解：（Ⅱ） D（0，0，0）， =（2，1，0）， =（2，0，2）， =（0，2，2），
設(shè)平面A1BD的法向量為 ，
則由 ，得 ，
取x1=1，得 ；
設(shè)平面C1BD的法向量為 ，
則由 ，得 ，
取x2=1，得 ，
設(shè)二面角A1﹣BD﹣C1的平面角為θ，
則 ，∴ ．，
∴二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能證明AD1⊥B1C．（2）求出平面A1BD的法向量和平面C1BD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)即可以解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀下面材料，嘗試類比探究函數(shù)y=x2﹣ 的圖象，寫出圖象特征，并根據(jù)你得到的結(jié)論，嘗試猜測作出函數(shù)對應(yīng)的圖象． 閱讀材料：
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征．我們來看一個應(yīng)用函數(shù)的特征研究對應(yīng)圖象形狀的例子．
對于函數(shù)y= ，我們可以通過表達(dá)式來研究它的圖象和性質(zhì)，如：

（1）在函數(shù)y= 中，由x≠0，可以推測出，對應(yīng)的圖象不經(jīng)過y軸，即圖象與y軸不相交；由y≠0，可以推測出，對應(yīng)的圖象不經(jīng)過x軸，即圖象與x軸不相交．
（2）在函數(shù)y= 中，當(dāng)x＞0時y＞0；當(dāng)x＜0時y＜0，可以推測出，對應(yīng)的圖象只能在第一、三象限；
（3）在函數(shù)y= 中，若x∈（0，+∞）則y＞0，且當(dāng)x逐漸增大時y逐漸減小，可以推測出，對應(yīng)的圖象越向右越靠近x軸；若x∈（﹣∞，0），則y＜0，且當(dāng)x逐漸減小時y逐漸增大，可以推測出，對應(yīng)的圖象越向左越靠近x軸；
（4）由函數(shù)y= 可知f（﹣x）=﹣f（x），即y= 是奇函數(shù)，可以推測出，對應(yīng)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱． 結(jié)合以上性質(zhì)，逐步才想出函數(shù)y= 對應(yīng)的圖象，如圖所示，在這樣的研究中，我們既用到了從特殊到一般的思想，由用到了分類討論的思想，既進(jìn)行了靜態(tài)（特殊點(diǎn)）的研究，又進(jìn)行了動態(tài)（趨勢性）的思考．讓我們享受數(shù)學(xué)研究的過程，傳播研究數(shù)學(xué)的成果．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a范圍是（ ）
A.a＞﹣3
B.a＜﹣3
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)的是（ ）
A.y=sinx
B.y=x3﹣x
C.y=lnx﹣x
D.y=xex

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，﹣6）處的切線方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】連續(xù)拋擲兩次骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記向量 =（m，n）， =（1，﹣1）的夾角為θ，則θ∈（0， ）的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2）=0， ＜0（x＞0），則不等式xf（x）＜0的解集 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，g（x）=x2﹣2bx+4，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列{an}中，a1=1，又a1 ， a2 ， a5成公比不為1的等比數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的公差；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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