Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形， 平面， 是等腰三角形， ， 是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．

（1）求證： ；

（2）求證：在線(xiàn)段上可以分別找到兩點(diǎn)， ，使得直線(xiàn)平面，并分別求出此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析， ， .

【解析】試題分析：（1）由題意易證平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接，則此時(shí)滿(mǎn)足直線(xiàn)平面. 在中，由勾股定理，得，所以.在中，由，得所以.

試題解析：

（1）證明：因?yàn)?/span>平面， 平面，所以.

因?yàn)榈酌?/span>是矩形，所以

又因?yàn)?/span>，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）如圖所示，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，

作，垂足為，連接，則此時(shí)滿(mǎn)足直線(xiàn)平面.

由（1）得， 平面，又平面，

所以

因?yàn)?/span>平面，所以

又因?yàn)?/span>是等腰三角形，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

又因?yàn)?/span>， ，所以平面.

易知，下面求解：

因?yàn)?/span>， ，所以可設(shè)，則， .

在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.

因?yàn)?/span>平面，又平面，

所以

的平面圖如圖所示：

在中，由勾股定理，得，

所以.

在中，由，得所以.

綜上，在線(xiàn)段上可以分別找到兩點(diǎn)， ，使得直線(xiàn)平面，

并且此時(shí)，