Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n+4（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=na_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=3a_n+4，得a_n+1+2=3（a_n+2），從而可判斷{a_n+2}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3a_n+4，∴a_n+1+2=3（a_n+2），…（3分）
又∵a₁=1，∴a₁+2=3≠0，
∴數(shù)列{a_n+2}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列     …（6分）
（2）由（1）得  a_n+2=3×3^n-1=3ⁿ
∴a_n=3ⁿ-2，
b_n=n•a_n=n•3ⁿ-2n  …（8分）
∴T_n=（1×3¹-2×1）+（2×3²-2×2）+…+（n•3ⁿ-2n）
=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-2（1+2+…+n）
=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-2×

n(n+1)

2

=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-n²-n  …（10分）
記S_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ
則3S_n=1×3²+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹
∴S_n-3S_n=（3¹+3²+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
=

-(2n-1)•3n+1-3

2

∴S_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

   …（12分）
∴T_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

-n²-n．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，屬中檔題．