Question

設(shè)n∈N^*，圓C_n：x²+y²=（R_n＞0）與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，與曲線的交點(diǎn)為N（），直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求證：a_n＞a_n+1＞2；
（3）設(shè)Sn=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定N、M的坐標(biāo)，利用N在圓C_n：x²+y²=上，直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0），即可用n表示R_n和a_n；
（2）利用＞＞2，＞1，即可證得結(jié)論；
（3）先證當(dāng)0≤x≤1時(shí)，，進(jìn)而可得，從而，求和即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵N（）在曲線上，∴N（，）
代入圓C_n：x²+y²=，可得，∴M（0，）
∵直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0）．
∴=
∴
（2）證明：∵，
∴＞2
∵＞，
∴＞+
∴a_n＞a_n+1＞2；
（3）證明：先證當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
事實(shí)上，等價(jià)于
等價(jià)于≤1+x≤
等價(jià)于≤0≤
后一個(gè)不等式顯然成立，前一個(gè)不等式等價(jià)于x²-x≤0，即0≤x≤1
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
∴
∴（等號(hào)僅在n=1時(shí)成立）
求和得
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，證題的關(guān)鍵是證明當(dāng)0≤x≤1時(shí)，，屬于難題．