Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）定義域易得，利用反解自變量的方法求值域即可．
（2）先把函數(shù)分離常數(shù)，在分底數(shù)和1的大小兩種情況再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷即可．

解答：解：（1）易得f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R}．設(shè)y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0當(dāng)且僅當(dāng)-

y+1

y-1

＞0時，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=

(ax+1)-2

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°當(dāng)a＞1時，∵a^x+1為增函數(shù)，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

為減函數(shù)，從而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

為增函數(shù)．
2°當(dāng)0＜a＜1時，類似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題是對函數(shù)定義域和值域以及單調(diào)性的綜合考查．在利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，其原則是；單調(diào)性相同為增，單調(diào)性相反為減，且乘正數(shù)單調(diào)性不變，乘負(fù)數(shù)單調(diào)性相反．