Question

如圖所示，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC邊的中點．
（1）求證：AB⊥

A

1

C；   
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出AB⊥AC和AA₁⊥AB利用先線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面A₁ACC₁最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出AB⊥A₁C．
（2）連結(jié)A₁B交AB₁于點E，再連結(jié)DE，先利用中位線的性質(zhì)證明出ED∥A₁C，繼而可利用線面平行的判定定理證明出A₁C∥平面AB₁D．

解答： 證明：（1）∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABCAB?面ABC，
∴AA₁⊥AB
又∵AA₁∩AC=AAA₁?面A₁ACC₁AC?面A₁ACC₁
∴AB⊥平面A₁ACC₁
且A₁C?面A₁ACC₁
∴AB⊥A₁C．
（2）連結(jié)A₁B交AB₁于點E，再連結(jié)DE，
∵D是BC邊的中點．
∴DE為△BCA₁的中位線，
∴ED∥A₁C，
∵ED?平面AB₁D，且A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥面AB₁D．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運用，考查了學(xué)生空間觀察能力和分析的能力．