Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF．連接DF，G為DF的重點，連接EG，CG，EC，求證：|

EG

|=|

CG

|，

EG

⊥

CG

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：證明題,平面向量及應(yīng)用

分析：以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，1），C（1，0），D（1，1），E（p，q），F(xiàn)（m，n），由條件得到m=p+q，n=q-p，從而求出F、G的坐標(biāo)，運用向量的模的坐標(biāo)公式和向量的垂直的坐標(biāo)公式，即可得證．

解答： 證明：以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（0，1），C（1，0），D（1，1），E（p，q），F(xiàn)（m，n），
由于△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，
則

n-q

m-p

•

q

p

=-1且2（p²+q²）=m²+n²，
解得m=p+q，n=q-p，即F（p+q，q-p），
G（

p+q+1

2

，

q-p+1

2

），
故|

CG

|²=（

p+q-1

2

）2+（

q-p+1

2

）²，
|

EG

|²=（

q+1-p

2

）²+（

q+p-1

2

）²，
顯然有|

EG

|=|

CG

|，

CG

=（

p+q-1

2

，

q-p+1

2

），

EG

=（

q+1-p

2

，

-q-p+1

2

）
則

CG

•

EG

=

p+q-1

2

•

q+1-p

2

+

q-p+1

2

•

-q-p+1

2

=0，
故

EG

⊥

CG

．

點評：本題考查平面向量的運用，考查向量的坐標(biāo)運算，向量的垂直的條件以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算和向量的模，屬于中檔題．