Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-2|
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+3）＜4；
（2）已知a＞2，求證：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值化簡不等式，通過x的范圍，推出多項(xiàng)式不等式，求解即可．
（2）利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-2|，
f（x+1）+f（x+3）＜4，即|x-1|+|x|＜4，
①當(dāng)x≤0時，不等式為1-x-x＜4，即$x＞-\frac{3}{2}$，∴$-\frac{3}{2}＜x≤0$是不等式的解；
②當(dāng)0＜x≤1時，不等式1-x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；
③當(dāng)x＞1時，不等式為x-1+x＜4，即$x＜\frac{5}{2}$，∴$1＜x＜\frac{5}{2}$是不等式的解，
綜上所述，不等式的解集為$1＜x＜\frac{5}{2}$．
（2）證明：∵a＞2，
∴f（ax）+af（x）=|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|＞2
∴?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

點(diǎn)評 本題考查絕對值的幾何意義，不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．