【題目】已知橢圓E: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 離心率 ,P為橢圓E上的任意一點(diǎn)(不含長軸端點(diǎn)),且△PF1F2面積的最大值為1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)已知直x﹣y+m=0與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線AB的中點(diǎn)不在圓 內(nèi),求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由 ,得 ,
又a2=b2+c2,且 ,
聯(lián)立解得: ,c=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;
(2)解:聯(lián)立 ,消去y整理得:3x2+4mx+2m2﹣2=0.
則△=16m2﹣12(2m2﹣2)=8(﹣m2+3)>0,解得 .
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 ,
,即AB的中點(diǎn)為( ).
又AB的中點(diǎn)不在圓 內(nèi),
∴ ,解得:m≤﹣1或m≥1.
綜上可知, 或1 .
【解析】(1)由已知列關(guān)于a,b,c的方程,聯(lián)立方程求得a,b的值,則橢圓方程可求;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo),再由AB的中點(diǎn)不在圓 內(nèi)結(jié)合判別式可得m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)已知集合A={(x,y)|y=x2+2},B={(x,y)|y=6﹣x2},求A∩B; (Ⅱ)已知集合A={y|y=x2+2},B={y|y=6﹣x2},求A∩B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓P:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)被y軸所截的弦長為2,被x軸分成兩段弧,且弧長之比等于 (其中P(a,b)為圓心,O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求a,b所滿足的關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P在直線x﹣2y=0上的投影為A,求事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn),使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知符號函數(shù)sgn(x)= ,則函數(shù)f(x)=sgn(lnx)﹣lnx的零點(diǎn)個數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線由上半橢圓: (, )和部分拋物線: ()連接而成, 與的公共點(diǎn)為, ,其中的離心率為.
(1)求, 的值;
(2)過點(diǎn)的直線與, 分別交于點(diǎn), (均異于點(diǎn), ),是否存在直線,使得以為直徑的圓恰好過點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5].
(1)求實(shí)數(shù)a的范圍,使y=f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù).
(2)求f(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑,其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示.圓的圓心與矩形對角線的交點(diǎn)重合,且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點(diǎn)),與左右兩邊相交(, 為其中兩個交點(diǎn)),圖中陰影部分為不透光區(qū)域,其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1m,且.設(shè),透光區(qū)域的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)根據(jù)設(shè)計(jì)要求,透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時,求邊的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖ABCD﹣A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線AC1交平面CB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是( )
A.C,M,O三點(diǎn)共線
B.C,M,O,A1不共面
C.A,M,O,C不共面
D.B,M,O,B1共面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=log2(a﹣x)的定義域?yàn)锽.
(1)若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)全集為R,若非空集合(RB)∩A的元素中有且只有一個是整數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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